mróz

    wyjęta z zamrażalnika
    osełka masła
    wnet rozmiękła
    taplały się w niej tępe noże
    a ostry przeleciał
    i wpadł w wodę

    bujny ogród wydawał owoce
    to szczodrze to skąpo
    owady wibrowały w krzakach
    księżyc zajrzał i uciekł w chmury
    zamilkło gęste powietrze








wh,
2010-06-28

ospałe gołębie

        nim mnie gołębie
        uhonorują
        spadnę z piedestału
        a w tobie będzie
        złość czy żal








wh,
2010-06-21

Afiniczność, logarytm, czworościan

Wstęp

Kiedy w Las Vegas, w New Mexico (nie w Nevadzie), w 1996 roku, zajmowałem się teoretyczną podstawą fuzzy controlera, naraz dotarło do mnie jasne uzasadnienie wzoru na objętość czworościanu, i ogólniej - n-wymiarowego sympleksu. Z pewnością moja elementarna obserwacja jest skryta w zilionie miejsc w literaturze, nie wiem. Jednak obserwacja ta powinna być znana, od starożytnych czasów greckich, wszystkim uczniom w szkole, a nie jest. Może dlatego, że chociaż daje pełne zrozumienie, to stanowi tylko połowę dowodu. Druga połowa nie dotyczy zrozumienia, lecz intuicji związanej z afinicznością. Afiniczna część dowodu wzoru na objętość czworościanu wymaga rozwinięcia solidnego kawałka matematyki. Powiem więcej w trzeciej części niniejszej notki o afiniczności i jej przejawach.

Afiniczność

Na szybie okiennej (tuż nad podłogą) mamy obraz. Słońce rzutuje obraz na podłogę. Szyba nie musi być pionowa, może być obrócona wokół poziomej osi. Słońce chodzi po niebie, więc na podłodze dostajemy różne obrazy o różnych godzinach. Zakładamy, że snop światła słonecznego jest równoległy. Obraz na podłodze jest afinicznym przekształceniem obrazu na szybie. Obraz na podłodze przypomina obraz na szybie pod wieloma względami. Są też różnice. Mówimy, że przekształcenie afiniczne zachowuje pewne własności, a innych nie zachowuje:

1. zachowuje linie proste czyli liniowość; każde trzy punkty szyby, leżące na jednej prostej, są zrzutowane na trzy punkty podłogi, leżące na jednej prostej.


2. nie zachowuje kątów pomiędzy prostymi (i krzywymi gładkimi). Proste prostopadłe na szybie na ogół przejdą na proste nieprostopadłe na podłodze. Wtedy jedna para przeciwległych kątów prostych zmaleje do ostrych, a pozostała zwiększy się do rozwartych. Gdy słońce świeci nie prosto na pionową szybę, lecz ostro z boku, to linie pionowe na szybie przejdą na podłogę ostro nachylone do linii, będących rzutami poziomych (każdy widział rzut pionowego okna jako skośny na podłodze lub na ścianie bocznej)


3. zachowuje równoległość; pary prostych i odcinków równoległych na szybie przechodzą na pary równoległe na podłodze.


4. nie zachowuje długości odcinków. W południe, gdy słońce jest wysoko na niebie, a szyba jest pionowa, to obraz odcinków pionowych na szybie jest na podłodze skrócony. Gdy słońce jest nisko nad horyzontem, to obraz odcinków pionowych jest wydłużony. (Obraz odcinków poziomych, czyli równoległych do podłogi, zachowuje długość oryginałów na szybie - faktycznie, odcinek poziomy na szybie, wraz z jego rzutem na podłodze, łącznie z dwoma promieniami słonecznymi, tworzą równoległobok).


5. nie zachowują się proporcje długości odcinków. Na szybie rozpatrzmy odcinek poziomy i pionowy, o tej samej długości. Na podłodze poziomy będzie miał tę samą długość, a obraz pionowego będzie miał inną długość (gdy, w przypadku pionowej szyby, słońce nie świeci pod kątem 45 stopni). Mieliśmy na szybie proporcję 1, a na podłodze już inną.


6. Nie zachowuje się powierzchnia figur geometrycznych. Prostokąt na szybie może mieć po zrzutowaniu na podłogę powierzchnię zarówno większą, jak i mniejszą, w zależności od wysokości slońca, i nachylenia szyby.
   
7. Zachowują się proporcje długości odcinków (odległości punktów) na każdej prostej. Gdy na dowolnie danej prostej, na szybie, dwa odcinki są w proporcji 5 do 8, to po zrzutowaniu na podłogę dalej są w proporcji 5 do 8 (czyli oba skrocą sie lub oba wydłużą w tym samym stosunku). Ogólniej można powiedzieć, że zachowują się proporcje długości odcinków równoległych.


8. Zachowują się proporcje powierzchni figur geometrycznych. Można to ująć równoważnie tak: wszystkie powierzchnie figur zmieniają się przy rzutowaniu w tym samym stosunku. Rzeczywiście, figurę na szybie możemy zawrzeć w unii przylegających do siebie, przystających kwadracików, przy czym ta unia będzie wystawać poza fugurę tyle co nic, czyli będzie miała powierzchnię niewiele większą od danej figury. Po zrzutowaniu, kwadraciki przejdą na małe, przystające równoległoboki. W przypadku dwóch figur na szybie, pokrytych kwadracikami o takim samym boku, oba rzuty będą pokryte przystającymi rownoległobokami ("takimi samymi" dla obu figur). Zatem powierzchnia obu figur zmieni się przy rzutowaniu w tym samym stosunku co powierzchnia kwadracika, przy przejściu na równoległobok. Gdy równoległobok będzie miał powierzchnię na przykład półtora razy większą od kwadracika, to powierzchnia rzutu każdej figury będzie półtora razy większa niż fugury rzutowanej.

Logarytm

Rozpatrzmy odwzorowanie płaszczyzny kartezjańskiej  f : R² → R²,  które oś x rozciąga 5-krotnie, a oś y kurczy 5-krotnie:

        f(x y) = (5*x  y/5)

Wtedy każdy kwadrat przechodzi na prostokąt, którego poziomy bok będzie 5 razy dłuższy, a poziomy 5 razy krótszy. Zatem powierzchnia prostokąta będzie równa powierzchni wyjściowego kwadratu. Wynika stąd, że odwzorowanie f zachowuje powierzchnię dowolnej figury (bo można je przybliżać uniami przylegającymi do siebie, przystającymi kwadracikami) - powierzchnia obrazu f(X) jest równa powierzchni X, dla dowolnej figury X, zawartej w płaszczyźnie kartezjańskiej.

Oczywiście zamiast liczby 5 mogliśmy rozważać dowolną stałą K > 0. Odwzorowanie afiniczne

        f : R² → R²

dana wzorem:

        f(x y) = (K*x  y/K)

zachowuje pole figur geometrycznych.

Rozpatrzmy ciekawy i ważny przykład dwóch trapezów krzywolinijnych, S oraz T, będących polami zawartymi pomiędzy dwoma wartościami x czyli pomiędzy dwoma prostymi pionowymi, osią x oraz wykresem funkcji odwrotności

        odw(x) = 1/x   dla  x > 0.

Niech  0 < A < B  oraz K > 0. Oto te "trapezy":

        S := { (x y) : A ≤ x ≤ B oraz 0 ≤ y ≤ 1/x }
        T := { (x y) : K*A ≤ x ≤ K*B oraz 0 ≤ y ≤ 1/x }

Jest jasnym, że trapez T jest obrazem trapezu S przy funkcji afinicznej f, zdefiniowanej powyżej: f(S) = T. Zatem powierzchnie tych trapezów są równe. Po prostu trapez T jest rozciągnięty poziomo K razy (gdy K < 1, to skurczony), oraz skurczony pionowo 1/K razy (gdy K < 1, to rozciągnięty). W matematyce nie musimy mówić skurczony lub rozciągnięty - wystarczy, że K razy, kropka.

Wprowadźmy dla trapezów krzywoliniowych, jak wyżej, wygodne oznaczenie ogólne T_A^B:

        T_A^B := { (x y) : A ≤ x ≤ B oraz 0 ≤ y ≤ 1/x }

Wtedy unia przylegających trapezów jest znowu podobnym trapezem:

        T_A^B ∪ T_B^C  =  T_A^C

dla  0 < A < B < C. Niech |F| oznacza wielkość powierzchni figury F. Tak więc dla powyższych S T mieliśmy:  |S|=|Y|,  czyli:

        |T_K*A^K*B|  =  |T_A^B|

oraz

        |T_A^B| ∪ |T_B^C|  =  |T_A^C|

Powyższa równości zachodzą dla dowolnych dodatnich A B C K, gdy dodatkowo zdefiniujemy:

        |T_A^A| := 0   dla dowolnego  A > 0

oraz

        |T_A^B|  :=  -|T_B^A|     dla dowolnych 0 < B < A

Oczywiście ostatni wzór zachodzi teraz dla dowolnych dodatnich A B (tkaże dla A=B > 0). Zależność powierzchni od kolejności wymienienia krawędzi pionowych trapezu oznacza, że, zamiast po prostu trapezów, rozpatrujemy trapezy zorientowane: dodatnio zorientowane mają powierzchnię dodatnią, a ujemnie zorientowane - ujemną.

Także dla dowolnych A B K > 0 zachodzi wzór:



Gdybym w tej chwili napisał : ciąg dalszy nastąpi, po czym znajomy powiadomiłby Was, że wpadłem pod samochód, to niektórzy z Was poczuliby się sfrustrowani - no bo gdzie tu logarytm?!

Otóż tuż-tuż! Logarytm naturalny definujemy tak:

        log(x)  := |T₁^x|

dla dowolnego x > 0. Stąd całkiem szybko wynika, że:

1. log(1) = 0


2. log(a*b)  =  log(a) + log(b)   dla dowolnych a b > 0


3. log(a) < a-1   dla dowolnego  1 ≠ a > 0

Poniżej uzasadnię powyższe stwierdzenia. Patrząc na wykres funkcji odw(x) := 1/x można wyprowadzić także wiele innych wlasności logarytmu, ale o dziwo wszystkie będą wynikaly z powyższych trzech! Powyższe trzy wlasności definiują logarytm naturalny w pełni, stanowią jego aksjomatyczną definicję. Wynika to stąd, że te trzy aksjomaty pozwalają wyliczyć funkcję odwrotną do logarymu - jest to funkcja eksponencjalna exp, znana jako e^x. Ponieważ daną funkcję odwrotną, powiedzmy exp, może mieć tylko jedna funkcja - mianowicie funkcja odwrotna do niej, np. do exp, to rzeczywiście nasze 3 proste wlasności zawierają pełną informację o logarytmie.

Własność log(1) = 0 wynika z równości |T₁¹| = 0. Własność:

        log(a*b)  =  log(a) + log(b)

dowodzi się prosto:

    log(a*b)  =      |T₁^a| + |T₁^b|

    =  |T₁^a| + |T_a^a*b|  =  |T₁^a*b|

Wreszcie trzecia własność (nierówność) wynika z tego, że dla a > 1 wykres funkcji odw czyli 1/x dla 1 < x < a, jest poniżej 1,  oraz dla 0 < a < 1 wykres pomiędzy od a do 1 jest powyżej 1.

Objętość czworościanu

Według szkolnego wzoru, objętość czworościany równa jest 1/3 iloczynowi wyokości przez pole podstawy. Natomast w przypadku równoległościanu objętośc jest po prostu iloczynem wysokości przez pole podstawy. Zatem wzór na objętość czworościanu można rownoważnie sformułować jak następuje:

objętość czworościanu jest równa 1/6 objętości równoległościanu, którego trzy krawędzie (wychodzące z jednego wierzchołka) są krawędziami tego czworościanu.

Patrząc na sytuację afinicznie, wystarczy to dowieść dla sześcianu i czworościanu, którego trzy krawędzie są (wychodzącymi z tego samego wierzchołka) krawędziami sześcianu. Wszystkie pozostałe wypadki są afinicznym obrazem danego. A przy przekształceniach afinicznych proporcje objętości figur zachowują się; w szczególności 1/6 zawsze będzie 1/6.

Rozpatrzmy sześcian jednostkowy C := [0;1]³, w dodatnim rogu układu współrzędnych. Jest to zbiór wszystkich punktów, których wszystkie 3 współrzędne są pomiędzy 0 oraz 1. Z tego powodu sześcian ten jest unią sześciu parami rozłącznych czworościanów - poza ścianami, których wewnętrzne punkty (należące do tego sześcianu, i nienależące do ścian czworościanów) spełniają odpowiednio jedną z 6 podwójnych nierówności (każda wyznacza jeden czworościan):

• x < y < z


• x < z < y


• y < x < z


• y < z < x


• z < x < y


• z < y < x

Czworościany te są przystające (mają ten sam kształt i tę samą wielkość) - każdy z każdego można otrzymać poprzez izometrię przestrzeni, indikowaną przez odpowiednią permutację osi; innymi słowy poprzez obrót, przy którym półosie dodatnie x y z przechodzą na siebie, lub poprzez symetrię względem płaszczyzny przechodzącej przez jedną z osi, i lustrzanie odwzorowywującej każdą z pozostałych półosi dodatnich na drugą z nich. (Widzimy, że 3 spośró∂ tych czworościanów są jakby "lewe", i trzy "prawe").

W przypadku n-wymiarowym mamy rozkład kostki na n! sympleksów, czyli we wzoprze na objętość n-wymiarowego sympleksu występuje współczynnik 1/n!. W szczególności dla trójkąta - współczynnik 1/2.

Dygresja (uzupełnienie)

Rzuty równoległe (słoneczne :-) zachowują długość odcinków, których rzut jest do nich równoległy (pamiętacie? te dwa odcinki wraz z promieniami słonecznymi tworzą równoległobok). Z tego powodu takie rzuty nie dają wszystkich przekształceń afinicznych, w tym nie dają podobieństw o współczynniku różnym od 1 (podobieństw nieizometrycznych). Żeby z rzutów równoległych otrzymać dowolne przekształcenie afiniczne płaszczyzny, to na ogół należy na podłodze położyć dodatkową szybę. Utrwalić na niej obraz rzutu słonecznego. Następnie tę szybę wstawiamy do okna (dowolnie ją wcześniej obracając), i rzutujemy na podłogę jeszcze raz. W ten sposób dostaniemy dowolne przekształcenie afiniczne.

sąd udał się na spoczynek

               na dróg rozstaju ludzie z siebie sami
               na kolanach przed tobą tkwili godzinami
               jezu z nazaretu    

               czas wydarzenia goni tabunami
               tu starzy modlą się bądź zawsze z nami
               jezu z nazaretu

               gdy dzieci za nogi o mur głowami
               tu się chowałeś całymi latami
               jezu z nazaretu









wh,
2002-11-01

kumpel

       mieliśmy na pustyni Kumpla
       modliliśmy się do Niego
       opieprzaliśmy Go
       nie byliśmy Jego
       narodem wybranym
       lecz jedynym

       wyście mieli swoich Bogów
       i wy i wy i wy
       lecz nasz wam się spodobał
       a wy Jemu ot kokietka

       odkąd awansował
       wy nas
       w Imię Boże
       tępicie






wh,
2008-06-03

I gdzie ten raj?

Zdania na temat powrotu Chrystusa są podzielone, bo nieświadomi wciąż czekają, jakby Chrystus nigdy nie narodził się na nowo. Jednak widziano go w 1941 roku w Jedwabnem, jak po prawie dwu tysiącach lat śmiertelnego snu, wciąż jeszcze niezbyt przytomny, z grupą kilkudziesięciu pobitych Żydów, z rabinem na czele, niósł nie krzyż, lecz posąg Lenina. Dalsze godziny Chrystusa przesłonił dym ze stodoły z palącymi się Żydami. Nie było wątpliwości, że został zamordowany wraz z ponad szesnastoma setkami swoich młodszych o jakieś dwa tysiące lat sióstr i braci, choć byli wśród nich i starcy. Nie było wątpliwości tak długo, jak długo według oficjalnej wersji mordu dokonali Niemcy. Minęło kawał życia, a może kawał śmierci, nim okazało się, że mordu dokonali Polacy. Mógłoby to być dla świata zbawienie, gdyż z miejsca zmartwychwstało tysiąc trzysta Żydów, jako że Polacy według nowego dochodzenia zamordowali raptem trzystu czterdziestu. Jest więc poważna szansa, że Chrystus zmartwychwstał po raz drugi. Czyli żyłby po raz trzeci, a do trzech razy sztuka - a nuż tym razem sprowadzi na nas wszystkich raj. Kłopot polega na tym, że mimo ponowego zmartwychwstania, nikt Chrystusa więcej już nie widział (ani tych innych Żydów, jakaś zmowa, wiadomo). Mówią po wsiach, że ktoś go ukrywa w piwnicy, i nawet go węszą.



wh,
2007-10-14

wiosna 1993 (cz. 1-2)

        nowe słońce


            ach kogo to obchodzi
            nikomu nie przychodzi
            do głowy że zachodzi
            ostatnie słońce dziś

            bo jutro się narodzi
            ze światem cię pogodzi
            i wszystkim nam dogodzi
            nowe słońce
                a ja chcę to co dziś








    popołudnie



        narwana nirwana
        pęczkami rzodkiewek
        u stóp twych słonecznych
        w słoneczną niedzielę

        narwana niagara
        perłami fontanny
        i słońca kroplami
        u stóp mych się ściel

        jak jestem to jestem
        a kiedy mnie nie ma
        tym lepiej dla chleba
        tym lepiej dla nieba

        bo głowę tną ostre
        i tylko na wiosnę
        gdy słońce przygrzeje
        wiatr myśli rozwieje








wh,
1993-03-06

nokturn (1993-01-26)

            spod Rubinsteina palców 
            nietoperzami w wielonoc 
            nokturny Chopina 
            wirowały w walcu 

            w paryskie salony 
            mój smutek oszklony 
            a szczęście za oknem 
            w ciepłym deszczu moknie 

            i z wikliny kosze - 
            odpowiedzcie ściany 
            czy świat to Mazowsze 
            czy my się tułamy? 








wh,
1993-01-26